Dans cet article nous abordons un outil mathématique très utile pour représenter les nombres et pour faire des calculs. Il est également nécessaire pour traduire les codes utilisés sur les résistance et les condensateurs afin de connaître leur valeur. Il s’agit de la notation scientifique et de la notation ingénieur.
Pour bien comprendre la signification de ces notations, je fais au préalable un petit rappel sur les puissances en mathématiques.
Puis nous attaquons le vif du sujet. La lecture n’est pas difficile, mais il faut quand même s’accrocher. Allons-y !
Sommaire
1 Petit rappel sur les puissances en mathématiques
1.1 Puissances positives
Que signifie ce petit nombre en haut à droite ? Prenons un exemple : $2^2$, combien ça vaut ?
C’est très simple, dans ce cas le petit nombre, que l’on dit placé en exposant, vaut 2. Cela signifie que l’on multiplie le nombre du bas par lui même. Par conséquent $2^2=2\times 2=4$.
Cela se lit « 2 à la puissance 2 », ou « 2 au carré » et c’est égal à 4.
De même $5^2=5 \times 5=25$.
Que se passe t’il si la puissance vaut 3 ?
Dans ce cas on multiplie le nombre du bas une autre fois par lui-même. Par conséquent $2^3=2 \times 2\times 2=8$.
De même, $8^3=8\times 8\times 8=512$.
Pour la puissance de 3, on a également un nom, on dit « 2 au cube », « 8 au cube », etc…
Et de manière générale, pour un exposant $n$ quelconque entier :
$$
2^n=\underbrace{2\times 2 \times 2 … \times 2}_{n\: fois}
$$
Et si on généralise le nombre du bas :
$$
a^n=\underbrace{a\times a \times a … \times a}_{n\: fois}
$$
Cas particuliers :
- $3^1=3$
- $3^0=1$
1.2 Puissances négatives
Puissance ${-}1$
Considérons maintenant ce nombre : $2^{-2}$. Qu’est-ce que cela peut-il bien être ??
Pour le déchiffrer, il suffit juste de savoir que alors que mettre à la puissance $1$ signifie laisser le nombre tel quel (comme nous venons juste de le voir dans les cas particuliers ci-dessus), mettre à la puissance ${-}1$ veut dire prendre l’inverse du nombre. C’est-à-dire faire 1 divisé par ce nombre.
Par conséquent, $2^{-1}=\frac{1}{2}=0{,}5$.
De même $25^{-1}=\frac{1}{25}=0{,}04$.
Dans la suite, je garderai l’expression sous la forme de fraction et non sous forme de nombre à virgule.
La puissance ${-}1$ étant définie, voyons le cas général des puissances négatives.
Puissance négative
Comme nous avons vu, le signe $-$ de l’exposant signifie que l’on prends l’inverse du nombre. On met alors l’exposant positif et on applique tout simplement les règles sur les puissances vues plus haut.
Ainsi :
$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2\times 2}=\frac{1}{4}$
De même, $3^{-5}=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{3\times 3\times 3\times 3\times 3}=\frac{1}{243}$.
Voilà, en sachant cela, vous avez le bagage suffisant pour aborder la notation scientifique.
2 La notation scientifique
2.1 Quelques exemples
Pour faire les calculs numériques et afin de manier les petits nombres et les grands nombres ensemble, on utilise souvent la notation scientifique. Celle-ci fait appel aux puissances mathématiques que nous avons vu plus haut.
Par exemple, au lieu d’écrire $180\: 000$ on écrit $1{,}8{\times}10^5$. Et pour $0{,}000\: 000\: 012$ on écrit $1{,}2{\times}10^{-8}$.
Celle-ci est donc de la forme $a{\times}10^{n}$.
$a$ est un nombre compris entre 1 et 10, il s’appelle la mantisse et $1\le a \lt 10$.
$n$ est un entier positif, négatif (ou nul).
Un autre exemple :
$47 \:000\: \Omega=4{,}7{\times}10^4\: \Omega$
Voyons ensemble comment passer à la notation scientifique. Mais auparavant, voyons ce que signifie ce ${\times}10$ qui revient sans cesse.
2.2 Puissance de 10
L’utilisation de la puissance de 10 rends les choses plus simple, même si on ne le dirait pas à première vue !
En effet, en utilisant ce qu’on a vu plus haut sur les puissances, on sait maintenant que :
$10^2=10\times 10=100$
$10^3=10\times 10 \times 10 =1000$
$10^8=100\: 000\: 000$, et ainsi de suite…
Voyez vous un patron qui se dégage ?
L’exposant donne le nombre de $0$ derrière le $1$. $10^8$ c’est $1$ suivi de huit $0$.
Voyons ce qu’il se passe pour les puissances négatives :
$10^{-1}=\frac{1}{10}=0{,}1$
$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0{,}01$
$10^{-5}=\frac{1}{10^5}=\frac{1}{100 \: 000}=0{,}00001$
Ici, l’exposant nous dit combien il y a de nombres derrière la virgule !
Dans ce tableau je récapitule les puissances de $10$ pour $-6<n<6$ :
| 10-4 | 10-3 | 10-2 | 10-1 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |
| 0.0001 | 0.001 | 0.01 | 0.1 | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
Passons maintenant à la notation scientifique proprement dite.
2.3 Passage à la notation scientifique
Revenons donc à l’exemple précédant, on est passé de $47000$ à $4{,}7{\times}10^4$.
La mantisse vaut $4{,}7$ et elle est bien comprise entre $1$ et $10$, comme le veut la définition.
On l’obtient en écrivant que $47\: 000=47000{,}0$ et en déplaçant la virgule 4 « crans » vers la gauche.
Par conséquent, on multipliera $4{,}7$ par $10^4$. Ainsi $47\: 000=4{,}7{\times}10^4$.
Un autre exemple :
Nous voulons écrire $0{,}0000185$ en notation scientifique. La mantisse vaut $1{,}85$. On l’obtient en déplaçant la virgule de 5 « crans » vers la droite ce coup-ci. Par conséquent $0{,}0000185=1{,}85{\times}10^{-5}$.
2.4 Intérêt de la notation scientifique ?
D’une part je pense que vous en conviendrez, ça prends moins de place…
Mis à part cela, il est utile de connaître cette notation pour la lecture de la valeur de composants en électronique. Et elle permet d’alléger et donc de faciliter les calculs lorsque l’on manie des nombres très petits avec des nombres très grands. Voyons cela en détail.
Lecture de la valeur des composants
La notation scientifique intervient dans la lecture des composants, en particulier les résistances et les condensateurs.
Regardons par exemple ce qui est écrit sur le condensateur de la photo de tête de cet article. On peut lire 332. Les deux premier chiffre constituent un nombre, 33, que l’on doit multiplier par une puissance de 10 dont l’exposant est donné par le 3e nombre, en l’occurrence 2. Et le tout est donné par convention en pF (pico-farads, cliquez ici pour en savoir plus sur les unités et leurs préfixes).
Par conséquent, ce condensateur a une capacité de $33{\times}10^2 \: pF=33 \times 100\: pF= 3300\: pF=3{,}3{\times}10^3\: pF=3{,}3\: nF$
Du côté des calculs
D’autre part, lorsque l’on multiplie des puissances, on additionne les exposants. À condition qu’ils soient portés par le même nombre. C’est une des propriétés importantes des puissances, et c’est le cas en notation scientifique car on traite de puissances de $10$.
Regardez :
On sait que $100 \times 1000 =100 \: 000$.
Or $100=10^2$ et $1000=10^3$. Par conséquent $100 \times 1000 = 10^2 \times 10^3 = 10^{2+3} = 10^5 = 100\: 000$. Cela fonctionne à merveille !
Un autre exemple avec une puissance négative :
$0{,}01 \times 1000 = 10^{-2} \times 10^3=10^{-2+3}=10^1=10$
Dans le cas général on a donc :
$$10^n\times 10^m=10^{n+m}$$
Ceci simplifie énormément les notations dans les calculs, mais pas seulement, cela simplifie le calcul aussi !
Voyons un exemple. Regardons le calcul de la fréquence de coupure dans un filtre RC. Nous savons que la fréquence de coupure est donnée par l’expression :
$f_c=\large \frac{1}{2\pi R C}$
Prenons des valeurs au pif : $R=4{,}7\: k\Omega$ et $C=2{,}2 \: nF$.
Par conséquent : $f_c= \large \frac{1}{2\pi {\times} 4{,}7.10^3 {\times} 2{,}2.10^{-9}}$
$f_c=\large\frac{1}{2 \times 3{,}14 \times 4{,}7 \times 2{,}2 {\times} 10^{3-9}}=\frac{1}{64{,}108{\times}10^{-6}}$
De ce que nous avons vu sur les puissances négatives nous pouvons dire que $\frac{1}{10^{-6}}=10^{6}$
En calculant $\large \frac{1}{64{,}108}$ on trouve donc que :
$f_c=0{,}0156{\times}10^{6}\: Hz$
Or $0{,}0156{\times}10^{6} =1{,}56{\times}10^{-2}{\times}10^{6}=1{,}56{\times}10^{-2+6}=1{,}56{\times}10^{4}$
Par conséquent, on trouve que $f_c=1{,}56{\times}10^{4}Hz$.
L’idée du calcul est donc de mettre toutes les valeurs sous forme scientifique. Nous traitons les mantisses entre elles par l’opération de multiplication/division. Et nous traitons les puissances par des opérations d’addition/soustraction.
Ceci dit, je ne dis pas que ça ne demande pas un peu d’entraînement. J’ai tout détaillé mais avec de la pratique on saute toutes ces étapes.
Entraînez vous ! Calculez la fréquence de coupure en utilisant la formule précédente pour $R=2700\: \Omega$ et $C=1 \mu F$ et dîtes moi le résultat en commentaire !
2.5 Remarque sur les symboles utilisés
Parfois, le symbole ${\times}10$ est remplacé par un point « . » ou la lettre « e ». On pourra donc trouver $4{,}7{\times}10^4$ écrit $4{,}7.10^4$ ou $4{,}7e4$. Dans la suite de ce texte je continuerai d’écrire ${\times}10$ pour des raisons de clarté.
3 Notation ingénieur
3.1 Définition
En électronique, on aime bien parler avec des préfixes devant les unités : des $k\Omega$, des $\mu A$, des $mV$, etc…
La notation scientifique est utile pour faire des calculs de multiplication ou de division, mais elle ne rend pas triviale l’opération de somme.
On utilise alors une variante de cette notation, la notation ingénieur.
La notation ingénieur c’est comme la notation scientifique, mais les puissances sont des multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, etc… et de même dans le négatif.
Cette notation permet donc d’avoir une correspondance directe avec les préfixes des unités, respectivement dans le même ordre kilo, mega, giga, tera et pour les puissances négatives : milli, micro, nano, pico, etc…
En notation ingénieur, on transforme donc le nombre sous la forme $a\times 10^{3n}$. Le $3n$ dans la puissance signifie que l’exposant est un multiple de $3$. Par conséquent, la mantisse $a$ doit maintenant être comprise entre 1 et 1000.
Revenons à l’exemple précédant, nous avions vu que $47\: 000=47{\times} 10^4$. Si on veut une puissance multiple de 3, on déplace la virgule de 47000,0 de 3 crans à gauche. Par conséquent on a que $47\: 000=47{\times} 10^3=47k$.
3.2 Quelques exemples
Par exemple regardons les couleurs d’une résistance à 5 bandes (ou anneaux) :
Nous trouvons les couleurs : vert (5) – marron (1) – noir (0)- rouge (2)- marron. La 4e couleur est le multiplicateur, il donne l’exposant de la puissance de 10 que l’on multipliera au nombre donné par les 3 premiers chiffres (le code couleur est expliqué dans le tutoriel téléchargeable de ce blog si vous voulez plus de détails).
On doit donc multiplier $510$ par $10^2$. La valeur de cette résistance est donc $510{\times} 10^2 \Omega$.
Mais on veut exprimer la puissance de manière à avoir un exposant qui soit multiple de 3. Le but est de pouvoir utiliser un préfixe de type kilo, méga, milli, micro, etc…
Je pense qu’avec ce qui a été dit plus haut vous verrez que :
$510{\times} 10^2=51\times 10 \times 10^2=51\times 10^3 =51k$
Par conséquent les résistances de la photo sont de $51\: k\Omega$. Remarquez que la mantisse vaut 51, elle est bien comprise entre 1 et 1000.
D’autres exemples avec des unités :
$$
\begin{array}{l}
4700\: \Omega=4{,}7{\times} 10^3\: \Omega=4{,}7\: k\Omega\\
0{,}00183\: A=1{,}83{\times} 10^{-3}\: A=1{,}83\: mA\\
0{,}000022\: F=22{\times} 10^{-6}\: F=22\: \mu F
\end{array}
$$
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Références
[1] https://fr.wikipedia.org/wiki/Mantisse